\chapter{欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$ 的定义与推导}
\author{李国斌}
\date{2025年09月03日}
		
		\begin{abstract}
			欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni Constant）是分析数学与数论中一个至关重要的常数，它精确地量化了调和级数与自然对数之间的渐近差异。本文旨在详细阐述该常数 $\gamma$ 的核心定义、其几何与解析推导过程，并介绍其重要的积分表示形式。理解 $\gamma$ 的起源为深入探究其在解析数论、特殊函数理论等领域的应用奠定基础。
			\textbf{关键词}：欧拉-马歇罗尼常数；调和级数；自然对数；极限；积分表示
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		欧拉-马歇罗尼常数，记作 $\gamma$，是一个神秘且无处不在的数学常数，其近似值约为 $0.5772156649\ldots$。它由莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1734年首次提出，后由洛伦佐·马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni）进一步研究而得名。该常数出现在数论（与素数分布相关）、特殊函数理论、概率论及积分计算等诸多数学领域。其最经典的定义源于调和级数 $H_n$ 与自然对数 $\ln(n)$ 的发散行为之差，揭示了离散求和与连续积分之间的深刻联系。
		
		\section{定义与核心方程}
		$\gamma$ 的核心定义基于以下极限：
		\begin{equation}\label{eq:main}
			\gamma \coloneqq \lim_{n \to \infty} \left( H_n - \ln n \right)
		\end{equation}
		其中，$H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ 是第 $n$ 个调和数。
		
		该方程表明，尽管调和级数 $H_n$ 和 $\ln n$ 当 $n \to \infty$ 时都发散至无穷大，但它们的差却收敛于一个有限的常数。$\gamma$ 即为这个渐近差值的精确度量。
		
		\section{几何直观推导}
		我们可以通过函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 的图像直观理解这一定义，其几何意义是推导过程的关键。
		
		\subsection{面积解释}
		\begin{itemize}
			\item 调和数 $H_n$ 可以解释为由一系列矩形构成的“阶梯”区域面积。每个矩形位于区间 $[k, k+1]$ 上，高为 $\frac{1}{k}$，面积为 $\frac{1}{k} \times 1 = \frac{1}{k}$。因此，$H_n$ 是前 $n$ 个此类矩形面积的总和。
			\item 自然对数 $\ln n = \int_{1}^{n} \frac{1}{x}  dx$ 是曲线 $f(x) = \frac{1}{x}$ 从 $1$ 到 $n$ 之下的确切面积。
		\end{itemize}
		
		\subsection{面积差与常数 $\gamma$}
		\begin{itemize}
			\item 对于任意区间 $[k, k+1]$，由于函数 $1/x$ 单调递减，矩形面积 $\frac{1}{k}$ 恒大于曲线下面积 $\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x}  dx$。因此，差值 $H_n - \ln n > 0$。
			\item 这个总差值 $D_n = H_n - \ln n$ 代表了“阶梯”面积超出曲线下面积的“超额”部分。
			\item 可以证明序列 $\{D_n\}$ 是单调递增且有上界的（例如，$D_n < 1$）。根据单调有界收敛定理，该序列必收敛于一个极限值，此极限即为 $\gamma$。
		\end{itemize}
		
		\subsection{几何图示}
		图 \ref{fig:geom} 展示了 $n=5$ 时的这一几何关系。所有灰色矩形的总面积代表 $H_5$，浅灰色曲线下面积代表 $\ln 5$，而斜线阴影区域的面积之和即为差值 $H_5 - \ln 5$ 的几何体现。当 $n \to \infty$ 时，这类阴影区域的总面积趋于 $\gamma$。
		
		\begin{figure}[htbp]
			\centering
			\begin{tikzpicture}[declare function={f(\x)=1/\x;}]				\begin{axis}[
					width=0.95\textwidth,			height=0.5\textwidth,					xmin=0.8, xmax=6.2,
					ymin=0, ymax=1.2,
					axis lines=middle,
					xlabel=$x$,
					ylabel=$y$,
					xtick={1,2,...,5},
					ytick={0.2,0.4,...,1.0},
					xlabel style={at={(ticklabel* cs:1)}, anchor=west},
					ylabel style={at={(ticklabel* cs:1)}, anchor=south},
					samples=100,
					legend pos=north east,
					title={$H_n$ 与 $\ln(n)$ 的几何解释 ($n=5$)}
					]
					
					\% Draw the function
					\addplot[domain=1:5, thick, blue, name path=func] {f(x)};
					\addlegendentry{$f(x) = 1/x$};
					
					\% Draw the area under the curve from 1 to 5
					\addplot[domain=1:5, thick, draw=none, fill=lightgray, opacity=0.4, name path=curve] {f(x)} \closedcycle;
					\addlegendentry{$\int_1^5 \frac{1}{x}  dx = \ln 5$};
					
					\% Draw the rectangles (step function for H_n)
					\pgfplotsinvokeforeach{1,...,5}{
						\addplot[draw=black, fill=gray!30, opacity=0.6] coordinates {(#1, 0) (#1, {f(#1)}) (#1+1, {f(#1)}) (#1+1, 0)} -- cycle;
					}
					\addlegendentry{矩形面积 $1/k$ (总和为 $H_5$)};
					
					\% Pattern for the difference area
					\pgfdeclarepatternformonly{north east lines wide}%
					{\pgfqpoint{-1pt}{-1pt}}%
					{\pgfqpoint{10pt}{10pt}}%
					{\pgfqpoint{9pt}{9pt}}%
					{
						\pgfsetlinewidth{0.6pt}
						\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{0pt}}
						\pgfpathlineto{\pgfqpoint{9.1pt}{9.1pt}}
						\pgfusepath{stroke}
					}
					
					\% Fill the difference area (approximate)
					\pgfplotsinvokeforeach{1,...,4}{
						\addplot[pattern=north east lines wide, pattern color=darkgray, domain=#1:#1+1] {f(#1)} \closedcycle;
						\addplot[pattern=north east lines wide, pattern color=darkgray, domain=#1:#1+1] {f(x)} \closedcycle;
					}
					\addlegendimage{pattern=north east lines wide, pattern color=darkgray, area legend}
					\addlegendentry{面积差 $H_5 - \ln 5$};
					
				\end{axis}
			\end{tikzpicture}
			\caption{调和级数 $H_n$ 与积分 $\ln(n)$ 的几何关系图示。差值 $H_n - \ln n$ 由所有斜线阴影区域的面积之和表示，其极限为 $\gamma$。}\label{fig:geom}
		\end{figure}
		
		\section{解析推导}
		我们从定义出发，进行严格的数学推导，将极限转化为一个收敛级数的和。
		
		\subsection{将差值表示为求和形式}
		观察第 $k$ 个区间 $[k, k+1]$ 上的局部差值。我们有：
		\[
		\int_k^{k+1} \frac{1}{k}  dx - \int_k^{k+1} \frac{1}{x}  dx = \int_k^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x} \right) dx
		\]
		对 $k$ 从 $1$ 到 $n-1$ 求和，并加上 $k=n$ 时的不完整项，我们得到：
		\begin{align*}
			H_n - \ln n &= \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) - \int_{1}^{n} \frac{1}{x}  dx \\
			&= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x} \right) dx + \underbrace{\left( \frac{1}{n} - \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x}  dx \right)}_{\text{令为 $r_n$}}
		\end{align*}
		可以证明余项 $r_n \to 0$ 当 $n \to \infty$。因此，极限行为由求和项主导：
		\begin{equation}\label{eq:seriesrep}
			\lim_{n \to \infty} (H_n - \ln n) = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x} \right) dx
		\end{equation}
		
		\subsection{证明级数收敛并定义 $\gamma$}
		令 $a_k = \int_{k}^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x} \right) dx$。显然，$a_k > 0$。
		通过比较判别法可证该级数收敛。注意到在区间 $[k, k+1]$ 上，有：
		\[
		\frac{1}{k} - \frac{1}{x} \leq \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k(k+1)}
		\]
		因此：
		\[
		a_k = \int_{k}^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x} \right) dx < \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k(k+1)}  dx = \frac{1}{k(k+1)}
		\]
		而级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}$ 通过 telescoping 可知其和为 $1$，是收敛的。故由比较判别法，正项级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 收敛。我们将其和定义为欧拉-马歇罗尼常数：
		\begin{equation}\label{eq:gamma_series}
			\gamma = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x} \right) dx
		\end{equation}
		显然这里缺少了推导k从0到1的情况。这是关键的，并且并非不证自明。
		
		\section{积分表示}
		通过变量代换等技巧，$\gamma$ 可以表示为多种积分形式，这揭示了其与其它数学领域的联系。
		
		一种常见且优美的积分表示为：
		\begin{equation}\label{eq:int_rep}
			\gamma = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - e^{-t}} - \frac{1}{t} \right) e^{-t}  dt
		\end{equation}
		显然这里缺少了推导t从0到1的情况。
		
		\begin{equation}\label{eq:int_rep02}
	\gamma = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{e^{t}-1} - \frac{1}{te^t}  \right) dt
\end{equation}

		\subsection{推导思路}
		利用几何级数展开 $\frac{1}{1 - e^{-t}} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nt} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nt}$（对于 $t > 0$），代入式 \eqref{eq:int_rep} 右边：
		\begin{align*}
			&\int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - e^{-t}} - \frac{1}{t} \right) e^{-t}  dt \\
			&= \int_{0}^{\infty} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nt} - \frac{1}{t} \right) e^{-t}  dt \\
			&= \int_{0}^{\infty} e^{-t}  dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(n+1)t}  dt - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}  dt \\
			&= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}  dt \quad \text{(计算前两项积分)} \\
			&= \left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \right) - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}  dt \quad \text{(令 $m = n+1$)}
		\end{align*}
		上式中的发散项需要通过一个极限过程来严格处理。考虑一个截断的版本：
		\[
		\int_{0}^{N} \left( \frac{1}{1 - e^{-t}} - \frac{1}{t} \right) e^{-t}  dt = H_N - \int_{0}^{N} \frac{1 - e^{-Nt}}{t} e^{-t} dt + \epsilon_N
		\]
		其中 $\epsilon_N \to 0$。可以证明 $\int_{0}^{N} \frac{1 - e^{-Nt}}{t} e^{-t} dt \to \ln N + \gamma$ 作为 $N \to \infty$，从而建立与该定义式的等价性。此形式在研究指数积分、伽马函数等问题时尤为有用。
		
		\section{结论}
		欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$ 的定义式 $\gamma = \lim_{n \to \infty} (H_n - \ln n)$ 及其推导过程，完美融合了几何直观与解析严谨，体现了数学的统一美。
		\begin{itemize}
			\item \textbf{几何上}，$\gamma$ 是函数 $y=1/x$ 的矩形近似面积与曲线下面积之差的极限，是一个具体的、可计算的量。
			\item \textbf{解析上}，$\gamma$ 被表示为一个收敛的正项级数的和，揭示了其作为离散与连续数学对象之间桥梁的本质。
			\item \textbf{表示上}，$\gamma$ 的积分形式将其与指数积分、伽马函数等分析学核心内容紧密联系起来。
		\end{itemize}
		$\gamma$ 不仅是一个数字，更是一个基本的数学常数，它像一条深刻的纽带，连接了离散的求和与连续的积分，在数学的诸多分支中展现出其非凡的意义与美感。其无理性和超越性猜想至今未被证明，仍是数学中悬而未决的难题。
		